# 向量 Vector

# 是什么

向量是一个描述长度和方向的量,也可以叫做矢量。

# 记法

一般使用a粗体表示。一般写作:vector


# 几何表示

向量几何表示

# 点与向量

任何一个点都可以写成y = aA + bB + cC

# 四则运算

# 加法

向量加法公式

几何意义: 平行四边形法则

平行四边形法则

满足规则:

a + b = b + a (交换律)

a + b + c = b + (a + c) (结合律)


# 减法

向量减法公式

几何意义:平行四边形法则

平行四边形法则

# 乘&除标量

向量乘法公式

几何意义: 对向量的缩放


乘以-1结果:

负向量

几何意义: 表示为长度相等并方向相反的向量。

负向量

#

向量的模也就是向量的长度。三维向量计算公式:

向量的模

几何意义: 可以把一个向量转化为三角形,然后利用勾股定理转化为长度。

# 点乘

# 数学

ab点乘公式:

点乘公式

计算公式: 点乘公式 从公式可以看出向量点乘结果为一个标量。


点乘满足规则:

点乘满足规则

# 几何意义

给定两个向量vn,将能v分解成两个分量:V∥V⊥。它们分别平行于和垂直于n,并满足v = V∥ + V⊥。一般称平行分量V∥vn上的投影。

向量投影

这里我们可以V∥表示为:

V∥

根据三角函数我们可以求出||V∥|| = cosθ||v||,这样我们就可以求到

向量减法公式

我们可以根据点乘结果的符号可以判断两个向量的方向:

点乘结果的符号
  • 结果大于0,同向
  • 结果等于0,垂直
  • 结果小于0,反向

# 叉乘

叉乘一般只存在三维坐标系,计算的结果是一个矢量。 计算公式:

两个向量叉乘的长度公式: ||a x b|| = ||a||||b||sinφ 可以看出来是平行四边形的面积。


满足规则:

  • a x (b + c) = a x b + a x c
  • a x (kb) = k(a x b)
  • a x b = -(b x a)

# 几何意义

结果的向量为同时垂直这两个向量的向量。

我们可以使用结果的正负(垂直方向的)判断两个向量是否为同向(大于0同向)。

两个向量的叉乘的结果,是依赖于两向量的夹角。

# 单位向量

长度为1的向量,用来单纯存储方向,计算公式: 单位向量

# 简单实现

简单Vector3 (opens new window)

上次更新: 12/22/2020, 10:15:20 PM